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Figura1: Diagrama a bloques de un sistema en lazo abierto<\/h6>\nPara entender mejor el funcionamiento del control PID. Se debe recordar que un sistema puede estar en lazo abierto o en lazo cerrado.<\/p>\n
Un sistema en lazo abierto puede ser como cuando se enciende una motor para una bomba hidr\u00e1ulica y esta sube agua a un tinaco hasta que alguien apague el motor.<\/p>\n
Figura1: Diagrama a bloques de un sistema en lazo abierto<\/h6>\n<\/p>\n
La Figura 1 muestra el diagrama a bloques de el sistema mencionado, F(s) es la entrada (interruptor), $T_{1}(s)$ es el motor y la salida $X(s)$ es el agua que sube al tinaco, este sistema seguir\u00e1 funcionando hasta que la misma persona que encendi\u00f3 la bomba, regrese y la apague.<\/p>\n
Si a este mismo sistema le a\u00f1adimos un sensor que pueda detectar cuando el tinaco se ha llenado y mande una se\u00f1al indicando que est\u00e1 lleno para apagar la bomba, entonces el sistema est\u00e1 siendo controlado en lazo cerrado y se conoce como un control en lazo cerrado.<\/p>\n
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<\/a>Figura 2: Diagrama a bloques de un sistema en lazo cerrado<\/h6>\n<\/p>\n
En la Figura 2 el sensor es representado por $H(s)$ y su se\u00f1al por $D(s)$, esta se\u00f1al es comparada con una se\u00f1al de referencia dada en la entrada y se restan, al ser iguales entonces el sistema ha llegado a la referencia o al punto deseado, y en este caso se podr\u00eda detener la bomba hasta que el agua baje de cierto nivel de referencia y tenga que ser encendida de nuevo.<\/p>\n
Una vez que se record\u00f3 esto, al tener una funci\u00f3n de transferencia de un sistema din\u00e1mico, se le puede aplicar un control del tipo PID (proporcional, integral y derivativo).<\/p>\n
Cada una de estas tres palabras, definen algo que hace el control.<\/p>\n
Figura 3: Respuesta de un sistema al control P, PI y PID<\/h6>\n<\/p>\n
Juntos forman el Control Proporcional-Integral-Derivativo mejor conocido como control PID. Y sirve para que la se\u00f1al de control r\u00e1pidamente llegue a la se\u00f1al de referencia deseada.<\/p>\n
<\/p>\n
Al hacer uso del software Matlab, se puede simular el comportamiento de cualquier sistema al que se le aplique un control PID.<\/p>\n
La forma mas directa de realizar la simulaci\u00f3n, es teniendo la funci\u00f3n de transferencia del sistema, por ejemplo si se tiene un sistema de la forma<\/p>\n
\\begin{equation}
\n\\ddot{x}+5\\dot{x}+2=u(t) … (1)
\n\\label{S1}
\n\\end{equation}<\/p>\n
entonces se puede utilizar el comando $tf$ en matlab para obtener la funci\u00f3n de transferencia, de la forma,<\/p>\n
\\begin{equation}
\nND=tf(1, [1 \\ \\ 5 \\ \\ 2]) … (2)
\n\\label{ND}
\n\\end{equation}<\/p>\n
y se obtiene la funci\u00f3n de transferencia del sistema mostrado en (1) que ser\u00e1 guardada en la variable $ND$. Adem\u00e1s para cerrar el lazo de esta funci\u00f3n de transferencia mostrada en la ecuaci\u00f3n (2) se obtiene utilizando la funci\u00f3n $feedback$ de la siguiente manera,
\n\\begin{equation}
\nSN=feedback(ND,1) …(3)
\n\\label{FB}
\n\\end{equation}<\/p>\n
Donde el sistema resultante se guarda en $SN$, a este sistema (3) se le puede aplicar una entrada del tipo escal\u00f3n unitario para analizar la respuesta que tendr\u00e1, esto se realiza al utilizar la funci\u00f3n $step$,
\n\\begin{equation}
\nstep(SN) … (4)
\n\\label{SN}
\n\\end{equation}
\ny matlab genera autom\u00e1ticamente una gr\u00e1fica de la respuesta de este sistema. En este caso la se\u00f1al de referencia es 1 y por lo tanto el sistema deber\u00eda quedar estable en 1. Al no tener control, la se\u00f1al puede que no llegue a la referencia de 1 y quede con un error en estado estacionario.<\/p>\n
Para reducir o anular ese error, se debe realizar un control PID, para esto se debe definir el valor de las constantes proporcional, integral y derivativa del control y despu\u00e9s utilizar el comando
\n\\begin{equation}
\nCR=pid(kp,ki,kd) … (5)
\n\\label{kpid}
\n\\end{equation}
\ngenerando un control PID de la forma,
\n\\begin{equation}
\nCR=kp+\\frac{ki}{s}+kd*s … (6)
\n\\label{cpid}
\n\\end{equation}
\nCon este control mostrado en la ecuaci\u00f3n (5) y el sistema (2) se puede cerrar el lazo nuevamente y obtener el sistema en lazo cerrado con el controlador PID, de la forma,
\n\\begin{equation}
\nRG=feedback(CR*ND,1) … (7)
\n\\label{RG}
\n\\end{equation}
\ny aplicar una entrada de tipo escal\u00f3n para obtener la respuesta del sistema. Con lo cual se obtiene lo siguiente,<\/p>\n
Figura 4: Respuesta de un sistema sin control y con control PID<\/h6>\nEn la figura 4 se muestra la respuesta de un sistema en lazo abierto (azul) y se nota que no llega a la referencia que es 1, su error en estado estacionario es de 0.5, por otro lado, el sistema en lazo cerrado (naranja) y con control PID llega correctamente a la referencia de 1.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n se presenta el programa en Matlab para generar estos gr\u00e1ficos y entender mejor el comportamiento de un control PID, se motiva al lector a cambiar los par\u00e1metros $kp,ki,kd$ dentro del programa para observar el comportamiento de cada uno y como afecta la respuesta del sistema. Tambi\u00e9n se puede colocar cualquier funci\u00f3n de transferencia y obtener la gr\u00e1fica de su respuesta, el programa est\u00e1 comentado para su mejor entendimiento.<\/p>\n
El script para graficar este sistema o cualquier otro se muestra a continuaci\u00f3n, solo es necesario adecuar los valores de la funci\u00f3n de transferencia y de las constantes del control PID.<\/p>\n
<\/p>\n
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r\n % Este programa muestra el funcionamiento de un controlador %\r\n % PID. %\r\n %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r\n \r\n clc %Comando que limpia la command window\r\n clear all %Comando que limpia el workspace de variables\r\n close all %Comando que cierra cualquier gr\u00e1fico abierto anteriormente\r\n\r\n \r\n %% Declaraci\u00f3n de la funci\u00f3n de transferencia y condiciones iniciales.\r\n % funci\u00f3n de transferencia = 1 \/ ( s^2+5s+2)\r\n m=1; %valor que multiplica a s^2\r\n b=5; %valor que multiplica a s\r\n k=2; %valor final.\r\n %En caso de ser de mayor grado, se anexan tantas como sea el grado m\u00e1s el\r\n %valor final.\r\n \r\n ND=tf(1, [m b k]) %El comando \"tf\" genera la funci\u00f3n de transferencia donde\r\n %el 1 es el numerador y [m b k] es el denominador de \r\n %la funci\u00f3n detransferencia\r\n \r\n step(ND) %El comando step genera una entrada tipo escal\u00f3n unitario \r\n %para la funci\u00f3n guardada en ND.\r\n hold on %Mantiene la gr\u00e1fica en la ventana hasta que se ponga \r\n %el comando hold off\r\n %% Declaraci\u00f3n de las constantes P, I, D, para el control PID.\r\n \r\n kp=2; %Valor de la constante proporcional del control PID.\r\n ki=1; %Valor de la constante integral del control PID.\r\n kd=1; %Valor de la constante derivativa del control PID.\r\n \r\n CR=pid(kp,ki,kd) %El comado \"pid\" crea un controlador PID de la forma:\r\n % CR= kp+ (ki\/s) + kd*s\r\n \r\n RG=feedback(CR*ND,1) %Crea el lazo cerrado de la funci\u00f3n ND con el \r\n % controlador CR \r\n\r\n step(RG)\r\n grid on %Activa la cuadr\u00edcula de fondo en la figura.\r\n% \r\n<\/pre>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Para entender mejor el funcionamiento del control PID. Se debe recordar que un sistema puede estar en lazo abierto o en lazo cerrado. Un sistema en lazo abierto puede ser como cuando se enciende una motor para una bomba hidr\u00e1ulica y esta sube agua a un tinaco hasta que alguien apague el motor. Figura1: Diagrama … <\/p>\n