{"id":115,"date":"2021-09-12T18:53:10","date_gmt":"2021-09-12T18:53:10","guid":{"rendered":"https:\/\/masam.cuautitlan.unam.mx\/dycme\/dsf\/?page_id=115"},"modified":"2025-08-12T00:13:35","modified_gmt":"2025-08-12T00:13:35","slug":"ejemplo-inercia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/masam.cuautitlan.unam.mx\/dycme\/dsf\/ejemplo-inercia\/","title":{"rendered":"Ejemplo Inercia."},"content":{"rendered":"

Ejemplo<\/strong><\/h1>\n

Un rotor de un motor el\u00e9ctrico que tiene un momento de inercia $J$, conformado de diferentes materiales (heterog\u00e9neo) y est\u00e1 montado sobre cojinetes que aplican una fricci\u00f3n viscosa $b$ al eje del rotor. Suponga que no se le aplica una fuerza externa al rotor y que el \u00fanico par que act\u00faa sobre \u00e9l, es la velocidad angular $w(0)=w_{0}$ y la fricci\u00f3n $b$ debida a los cojinetes. Determine como se comportar\u00e1 la velocidad angular $w$.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Figura 1: Rotor con momento de inercia $J$ sobre dos cojinetes, con fricci\u00f3n viscosa $b$.<\/em><\/h6>\n

La Figura 1 muestra el rotor montado sobre los cojinetes que gira a una velocidad angular $\\dot{\\theta}=w$. Por lo tanto la velocidad angular inicial es de $w(0)=w_{0}$. Con esto es posible determinar la ecuaci\u00f3n de movimiento.<\/p>\n

\\begin{equation}
\nJ \\ddot{\\theta}+b\\dot{theta}=0 … (1)
\n\\label{ectheta}
\n\\end{equation}<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n de movimiento mostrada en (1) tambi\u00e9n puede ser vista en funci\u00f3n de la velocidad angular $w$ en vez de ser vista desde el movimiento del \u00e1ngulo $\\theta$, quedando,<\/p>\n

\\begin{equation}
\nJ \\dot{w}+bw=0 … (2)
\n\\label{ecw}
\n\\end{equation}<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n diferencial mostrada en (2) es de primer orden y a los sistemas descritos por una ecuaci\u00f3n de este tipo se les conoce como sistemas de primer orden.<\/p>\n

Para resolver este sistema, utilice la forma exponencial vista en la secci\u00f3n An\u00e1lisis de sistemas din\u00e1micos,<\/em><\/p>\n

\\begin{equation}
\nw=w_{0}e^{\\lambda t} … (3)
\n\\label{exp1}
\n\\end{equation}<\/p>\n

derivando la ecuaci\u00f3n (3) con respecto al tiempo $t$ se obtiene,<\/p>\n

\\begin{equation}
\n\\dot{w}=w_{0} \\lambda e^{\\lambda t} … (4)
\n\\label{exp2}
\n\\end{equation}<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n (3) y (4) se sustituyen en (2),<\/p>\n

\\begin{equation}
\nJ\u00a0 w_{0}\u00a0 \\lambda e^{\\lambda t}+b w_{0}e^{\\lambda t}=0 … (5)
\n\\label{solw}
\n\\end{equation}<\/p>\n

Factorizando t\u00e9rminos, se obtiene,<\/p>\n

\\begin{equation}
\nw_{0} e^{\\lambda t}(J\u00a0 \u00a0\\lambda +b )=0 … (6)
\n\\label{solw2}
\n\\end{equation}<\/p>\n

note que la ecuaci\u00f3n (6) solo puede hacerse cero si,<\/p>\n

\\begin{equation}
\nJ\u00a0 \u00a0\\lambda +b=0 … (7)
\n\\label{ecar}
\n\\end{equation}<\/p>\n

debido a que $w_{0} e^{\\lambda t} \\neq 0$. A la ecuaci\u00f3n (7) se le conoce como la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica<\/em><\/strong> del sistema, se le conoce de esta forma porque depende de las caracter\u00edsticas intr\u00ednsecas del sistema,\u00a0 de la cantidad de masa, es decir su momento de inercia $J$ y el tipo de viscosidad $b$ del sistema, estas caracter\u00edsticas determinan el valor de<\/p>\n

\\begin{equation}
\n\\lambda =-\\frac{b}{J} … (8)
\n\\label{lamda}
\n\\end{equation}<\/p>\n

Sustituyendo $\\lambda$ en (3) se obtiene la respuesta del sistema de acuerdo a sus caracter\u00edsticas, es decir,<\/p>\n

\\begin{equation}
\nw=w_{0}e^{-\\frac{b}{J} t} … (9)
\n\\label{resp1}
\n\\end{equation}<\/p>\n

Lo que indica que la respuesta del sistema, es decir el comportamiento de la velocidad angular $w$ cuando tiene una velocidad angular inicial $w_{0}$ y las caracter\u00edsticas de momento de inercia $J$ y viscosidad $b$.<\/p>\n

Para conocer como se comporta la velocidad se necesita sustituir los valores de $w_{0}$, $J$ y $b$. Adem\u00e1s se debe observar el comportamiento del sistema por un tiempo $t$ y apuntar la velocidad angular cada cierto tiempo para poder graficarla. Para evitar hacer esto a mano, se utilizar\u00e1 el programa de Matlab para simular y graficar el comportamiento de este sistema.<\/p>\n

A continuaci\u00f3n se anexa el programa de Matlab que sirve para realizar la simulaci\u00f3n de la respuesta (9) del sistema (2).<\/p>\n

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r\n%  Programa que sirve para obtener la gr\u00e1fica de la respuesta     %\r\n%  del movimiento inercial de un rotor con cojinetes y fricci\u00f3n   %\r\n%  viscosa.                                                       %\r\n%  Hecho por: Dr. Ra\u00fal Dal\u00ed Cruz Morales                          %\r\n%                                                                 %\r\n%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\r\nclc       %Limpia la pantalla de comandos y respuestas previas\r\nclear all %Limpia las variables guardadas en el workspace.\r\n\r\n%% Declaraci\u00f3n de variables y condiciones iniciales.\r\n% del sistema w(t)=w(0)e^(-(b\/j)t)\r\nw0=6;   %Condiciones inicial de w(0)\r\nb=2.5;  %Fricci\u00f3n viscosa \r\nj=8;    %Inercia\r\nt=0:0.1:10; % crea un vector de tiempo de simulaci\u00f3n de 0 a 10 s \r\n            % con incrementos de 0.1 s \r\n%% Procesamiento de datos\r\n\r\nw=w0*exp(-(b\/j)*t); %Respuesta del sistema\r\n\r\n%% Gr\u00e1fica de respuesta del sistema.\r\n\r\nplot(t,w,'LineWidth',2) %Grafica el tiempo vs vel. angular en (x,y) respectivamente\r\nxlabel('Tiempo (s)')    %Coloca la leyenda 'Tiempo (s)' en el eje X\r\nylabel('Velocidad (rad\/s)')  %Coloca la leyenda 'Velocidad (rad\/s)' en el eje Y\r\ntitle('Respuesta w(t)=w_{0}*e^{-(b\/j)*t}') % Coloca t\u00edtulo a la gr\u00e1fica.<\/pre>\n
De este programa se obtiene la siguiente gr\u00e1fica,<\/p>\n
\"\"Figura 2. Gr\u00e1fica obtenida en Matlab, velocidad vs tiempo.<\/h6>\n
En la Figura 2, se observa que la velocidad inicial del rotor es de 6 $rad\/s$ en el tiempo $t=0$, y conforme el tiempo avanza, la velocidad de rotaci\u00f3n va disminuyendo exponencialmente, esto es acorde a la ecuaci\u00f3n (9), n\u00f3tese que en el tiempo $t=10 s$ el rotor est\u00e1 casi detenido. Si la simulaci\u00f3n se hace por m\u00e1s tiempo, se podr\u00e1 observar el tiempo que tarda en detenerse completamente el rotor.<\/p>\n
Con esto se puede analizar el comportamiento del robot, y simular su movimiento y el tiempo que tardar\u00e1 en detenerse de acuerdo a la velocidad inicial y las caracter\u00edsticas intr\u00ednsecas del sistema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Ejemplo Un rotor de un motor el\u00e9ctrico que tiene un momento de inercia $J$, conformado de diferentes materiales (heterog\u00e9neo) y est\u00e1 montado sobre cojinetes que aplican una fricci\u00f3n viscosa $b$ al eje del rotor. Suponga que no se le aplica una fuerza externa al rotor y que el \u00fanico par que act\u00faa sobre \u00e9l, es … <\/p>\n
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