Respuesta Libre y Respuesta Forzada
Se analiza las diferentes respuestas que se pueden obtener de los sistemas dinámicos. Primero se inicia analizando un modelo lineal de primer orden, de forma general,
\begin{equation}
\dot{x}+ax=f(t)
\label{mlpo}
\end{equation}
A $f(t)$ se le conoce como la función de entrada o función forzada.
Resolviendo el modelo presentado en \ref{mlpo} con lo visto en la sección de Análisis de sistemas dinámicos y definiendo a la función de entrada f(t)=b como una constante , se obtiene,
\begin{equation}
x(t)=x(0)e^{-at}+\frac{b}{a}(1-e^{-at})
\label{resmlpo}
\end{equation}
La Ecuación \ref{resmlpo} es la solución del sistema \ref{mlpo} y al analizarla, se nota que está respuesta del sistema se divide en dos partes, una se conoce como la respuesta libre del sistema,
\[
x(0)e^{-at}
\]
note que esta parte de la solución no depende de la función de entrada $f(t)=b$, solo depende de la constante inicial $a$ y de las condiciones iniciales $x(0)$.
La otra parte de la solución \ref{resmlpo}, está influenciada por la función de entrada o forzada, y por eso se conoce como la respuesta forzada del sistema,
\[
\frac{b}{a}(1-e^{-at})
\]
note que esta parte de la solución depende del valor de la función forzada $f(t)=b$, entre más grande sea $b$, más grande será esta respuesta.
Estas dos respuestas sumadas, entregan la respuesta total del sistema, al escribir la solución de una ecuación como \ref{mlpo} de la forma escrita en \ref{resmlpo}, se puede analizar la respuesta por partes, es decir, si se colocan las condiciones iniciales en cero, entonces solo se conocen los efectos de la función de entrada en el sistema. Es decir, el enfoque se le da a la respuesta forzada del sistema.
Por otra parte, si la función de entrada es igual a cero, los efectos que se observarán en la solución es solo debida a las condiciones iniciales, es decir el enfoque se le da a la respuesta libre del sistema.
Respuesta en Estado Estacionario y Respuesta en Estado Transitorio.
La solución del modelo presentado en \ref{mlpo}, también puede ser visto de la forma,
\begin{equation}
x(t)=\frac{b}{a}+ \left[ x(0)-\frac{b}{a}\right]e^{-at}
\label{resmlpo2}
\end{equation}
donde es posible ver que está solución también consta de dos partes, una parte no es afectada por $e^{-at}$, es decir,
\[x(t)=\frac{b}{a}\]
en la cual se puede notar que esta parte de la solución no depende del tiempo y no varía con el tiempo, es una constante, a esta se le conoce como respuesta en estado estacionario.
La otra parte de la solución es,
\[x(t)= \left[ x(0)-\frac{b}{a}\right]e^{-at}\]
en la cual es posible ver que si depende del tiempo y si varía con el tiempo, note que al estar multiplicada por una función exponencial, esta función desaparecerá (se vuelve cero) conforme el tiempo aumenta. Por lo tanto después de cierto tiempo esta parte de la respuesta se volverá cero. A esta parte se le conoce como la respuesta en estado transitorio.
Esta solución \ref{resmlpo2} también puede separarse y analizarse de forma individual cada parte de la respuesta, el analizar la respuesta estacionaria ayuda a conocer a que estado llegará el sistema después de cierto tiempo, mientras que el analizar la respuesta en estado transitorio, ayuda a conocer el comportamiento del sistema al inicio de la observación del mismo.