¿Qué son los sistemas lineales y no lineales?

Para entender mejor lo que es un sistema lineal y uno no lineal, primero se muestra un diagrama de un sistema el cual recibe entradas de su lado izquierdo y por su lado derecho se obtienen las salidas.

Figura 2: Un sistema con entrada u(t) y salida x(t).

Este sistema puede ser de cualquier tipo, normalmente en este diagrama se dice que el sistema es una “caja negra” la cual recibe una entrada, la procesa dependiendo la naturaleza del sistema y se obtiene una salida particular.

Por lo tanto, al no conocer de forma particular un sistema, se deben estudiar sus entradas y salidas y de esa manera saber si el sistema es lineal o no lineal.

Se sabe que un sistema es lineal, cuando la respuesta que se obtiene al someterlo a dos o mas entradas cualesquiera es la misma que si se sumaran esas respuestas, al someterlo, a las mismas entradas de manera independiente.

A esto se le conoce como la propiedad de aditividad, y matemáticamente puede ser vista como,

\[
x_{1}(t)+x_{2}(t),u_{1}(t)+u_{2}(t) \rightarrow y_{1}(t)+y_{2}(t)
\]

Además, se dice que un sistema es lineal, si el estado $x_{1}$ al estar multiplicada por una constante $\alpha$  y la entrada $u_{1}$ se multiplica por la constante $\alpha$ , entonces la salida debe ser equivalente a estar multiplicada por la misma constante $\alpha$, a esto se le conoce como la propiedad de proporcionalidad, y matemáticamente puede ser vista como,

\[\alpha x_{1}(t), \alpha u_{1}(t) \rightarrow \alpha y_{1}(t)\].

Si un sistema tiene estas dos propiedades, entonces se le conoce como un sistema lineal y se dice que satisface el teorema de superposición.

El teorema de superposición nos indica que un sistema puede separarse en “pedazos” más pequeños y analizar cada uno de esos “pedazos” individualmente, para conocer su respuesta y al terminar de estudiarlos de manera separada, se puede sumar la respuesta obtenida en cada uno de ellos y conocer la respuesta total del sistema.

Los sistemas no lineales son todos aquellos que no cumplen con el principio de superposición.