Cómo ya se vio en la sección de “Modelos matemáticos”, se busca encontrar una representación matemática de los sistemas físicos, por lo tanto se analiza cada uno de los componentes y se presenta un modelo de su comportamiento.
En los sistemas mecánicos, de manera general, los elementos a estudiar se puede dividir en 3 tipos,
- Elementos de inercia. Son aquellos que debido a su masa pueden tener inercia, es decir, que con un cambio de fuerza producen un cambio en la aceleración
\[
Inercia=\frac{F}{a}
\] - Elementos de almacenamiento de energía. Son aquellos elementos que debido a sus características pueden mantener la energía del sistema, en este caso resortes.
\[
F=kx
\] - Elementos de absorción de energía. Son aquellos que elementos que debido a sus características, le quitan energía al sistema, en este caso amortiguadores.
\[
F=b\dot{x}
\]
Consideraciones: al estudiar sistemas dinámicos como el sistema masa-resorte-amortiguador, se deben tener algunas suposiciones en cuenta.
1.- Todos los resortes a estudiar, son lineales, es decir, que pueden ser deformados por una fuerza externa y ésta deformación será directamente proporcional a la fuerza aplicada.
Figura 2: Resorte ideal (azul), duro (verde) y suave (rojo), se trabaja solamente con la parte lineal del resorte (azul).
Por lo tanto la fuerza en un resorte se calcula en base a su constante de elasticidad $k$ y el desplazamiento total $x$ que sufre el resorte,
\[
F=kx=k(x_{1}-x_{2}) \ \ \ \ k=\left[ \frac{N}{m} \right] \ \ \ x=\left[m\right]
\]
Figura 3: Resorte sometido a una fuerza.
Recuerde que al ser un resorte ideal, solamente ejerce una fuerza cuando un desplazamiento lo afecta; además su masa y los efectos intrínsecos de amortiguamiento se desprecian.
2.- Todos los amortiguadores son ideales, es decir su masa y elasticidad intrínseca son despreciables, además se supone que el amortiguador disipa toda la energía sin dificultad.
Figura 4: Amortiguador sometido a una fuerza.
Note que en la Figura 4 se muestra a $\dot{x}_{1}$ y $\dot{x}_{2}$ las cuales son velocidades, no posiciones. Esto es debido a que el amortiguador solo ejerce fuerza cuando una diferencia de velocidad entre sus extremos es aplicada.
La fuerza que actúa sobre el amortiguador está dada por,
\[
F=b\dot{x}=b(\dot{x}_{1}-\dot{x}_{2}) \ \ \ \ [\frac{N}{m/s}]
\]
donde, $b$ es el coeficiente de fricción viscosa del amortiguador.