Análisis de sistemas dinámicos

Análisis de sistemas dinámicos.

Para comenzar el análisis de los sistemas dinámicos, veamos un sistema conocido y sencillo, el sistema masa-resorte.

Figura 5: Sistema masa-resorte.

¿De qué elementos se compone este sistema?
Masa y resorte.

¿Qué fuerzas actúan sobre el sistema?
Fuerza gravitacional y del resorte.

Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene la ec. de mov.
$$m\ddot{y}=\sum Fuerzas$$
es decir,
$$m\ddot{y}+ky=mg$$
De la Figura 5 se puede ver que,
$$y=x+\delta$$
además note que al colocarse la masa el resorte sufre un desplazamiento de su posición en $y=x$ hasta su nueva posición $x+\delta$, por lo tanto,
$$k\delta =mg$$
sustituyendo la ecuación ($\text{???}$) en ($\text{???}$) se obtiene,
$$m\ddot{y}+k(x+\delta )=mg$$
La ecuación ($\text{???}$) se deriva con respecto al tiempo y al ser $\delta$ constante se obtiene,
$$\dot{y}=\dot{x}+0$$
$$\ddot{y}=\ddot{x}$$
con lo cual se nota que $\ddot{y}=\ddot{x}$ y por lo tanto la ecuación ($\text{???}$) puede escribirse de la forma,
$$m\ddot{x}+kx=0$$

Supóngase que la masa mostrada en la Figura 5 se jala hacia abajo y después se suelta, la distancia que se movió hacia abajo se conoce como condición inicial (C.I.) del experimento, también puede darse una velocidad inicial, y en ambos casos, la masa oscilará y se moverá periódicamente, a esto se le conoce como vibración libre.

Figura 6: Sistema masa-resorte con condiciones iniciales.

Ya se tiene la ecuación de movimiento de un sistema masa resorte, dada en $\text{???}$, ahora se debe resolver esta ecuación para poder conocer y analizar el comportamiento de este sistema.

Para este efecto, hay varios métodos, se estudiará la solución por forma exponencial, por lo tanto, suponga que,
$$x(t)=C{e}^{\lambda t}$$
donde $C$ y $\lambda$ son constantes, si se deriva la ecuación ($\text{???}$) con respecto al tiempo, se obtienen,
$$\begin{array}{rcl}\dot{x}(t)& =& C\lambda e^{\lambda t}\\ \ddot{x}(t)& =& C{\lambda }^2{e}^{\lambda t}\end{array}$$
sustituyendo ($\text{???}$) y ($\text{???}$) en la ecuación ($\text{???}$) se obtiene,
$$mC{\lambda }^2{e}^{\lambda t}+kC{e}^{\lambda t}=0$$
que al ser divida por $C{e}^{\lambda t}$, se obtiene,
$$m{\lambda }^2+k=0.$$
A la ecuación ($\text{???}$) se le conoce como la ecuación característica del sistema masa-resorte. Y se pueden obtener las raíces del sistema al despejar a $\lambda$,
$${\lambda }^2=-\frac{k}{m}$$
las raíces del sistema son,
$${\lambda }_1=i\sqrt{\frac{k}{m}}{\lambda }_2=-i\sqrt{\frac{k}{m}}$$
sustituyendo estas dos raíces en la ecuación ($\text{???}$)
$$x(t)=C_1{e}^{i\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\right)t}+C_2{e}^{-i\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\right)t}$$
se nota que esta es la solución general del sistema masa-resorte y tiene dos constantes arbitrarías $C_1$ y $C_2$. Por lo cual ahora se debe conocer el valor de estas constantes para obtener la solución de este sistema en función de los valores conocidos de los elementos que componen al sistema masa-resorte.

Para esto, recuerde que una función exponencial, también puede expresarse en términos de funciones seno y coseno,
$$\begin{array}{rcl}{e}^{i\omega t}& =& \cos \omega t+i\sin \omega t\\ e^{-i\omega t}& =& \cos \omega t–i\sin \omega t\end{array}$$
al sustituir esto en la ecuación ($\text{???}$), se tiene,
$$\begin{array}{rcl}x(t)& =& C_1(\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t+i\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t)+C_2(\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t–i\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t)\\ & =& i(C_1-C_2)\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+(C_1+C_2)\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t\\ & =& A\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+B\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t\end{array}$$
donde,
$$A=i(C_1-C_2),B=(C_1+C_2)$$
Por lo tanto la solución general mostrada en ($\text{???}$) también puede expresarse en la forma,
$$\begin{array}{rcl}x(t)& =& A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)+B\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\end{array}$$
donde es importante recordar que las constantes A y B depende de las condiciones iniciales, es decir de la posición y velocidad que tienen en el tiempo $t=0$, por lo tanto la posición inicial se denota como $x(0)$ y la velocidad inicial como $\dot{x}(0)$.
Conocer el valor de estas constantes es sencillo, solo se necesita saber lo que sucede en el sistema en el tiempo $t=0$, por lo tanto sustituimos este valor en la ecuación ($\text{???}$),
$$\begin{array}{rcl}x(0)& =& A\sin (\sqrt{\frac{k}{m}}(0))+B\cos (\sqrt{\frac{k}{m}}(0))\end{array}$$
y se obtiene que,
$$B=x(0)$$
Por lo tanto el valor de $B$ es igual a la posición inicial $x(0)$ del sistema.\
El valor de $A$ puede obtenerse ahora al utilizar la velocidad inicial del sistema $\dot{x}(0)$, por lo cual, es necesario derivar la ecuación ($\text{???}$) con respecto al tiempo,
$$\begin{array}{rcl}\dot{x}(t)& =& A\sqrt{\frac{k}{m}}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)–B\sqrt{\frac{k}{m}}\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\end{array}$$
en donde nuevamente para conocer la velocidad que el sistema tenía en el tiempo $t=0$, es necesario sustituir este tiempo en la ecuación ($\text{???}$),
$$\begin{array}{rcl}\dot{x}(0)& =& A\sqrt{\frac{k}{m}}\cos (\sqrt{\frac{k}{m}}(0))–B\sqrt{\frac{k}{m}}\sin (\sqrt{\frac{k}{m}}(0))\end{array}$$
y se obtiene,
$$\begin{array}{rcl}\dot{x}(0)& =& A\sqrt{\frac{k}{m}}\end{array}$$
lo cual nos indica que,
$$\begin{array}{rcl}A& =& \sqrt{\frac{m}{k}}\dot{x}(0)\end{array}$$
la constante $A$ depende de la masa, el resorte y la velocidad inicial que tenga el sistema.

Sustituyendo el valor de ($\text{???}$) y ($\text{???}$) en la ecuación ($\text{???}$), tenemos la solución general del sistema en términos que depende solamente de elementos conocidos como su masa, resorte y condiciones iniciales,
$$\begin{array}{rcl}x(t)& =& \dot{x}(0)\sqrt{\frac{m}{k}}\sin \sqrt{\frac{k}{m}}t+x(0)\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t\end{array}$$
Al movimiento periódico que describe esta ecuación se le denomina movimiento armónico simple.

De la ecuación ($\text{???}$) se puede notar que la frecuencia con la que se moverá el sistema está dada por,
$$\sqrt{\frac{k}{m}}$$
esta frecuencia se conoce como la frecuencia natural del sistema y se representa por,
$${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Note que la ecuación ($\text{???}$) puede dividirse entre la masa $m$ y quedar de la forma,
$$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$
por lo tanto puede reescribirse como,
$$\ddot{x}+{\omega }_n^{2}x=0$$

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Sistema masa-resorte-amortiguador.

Hasta ahora se analizó el sistema masa-resorte, en el cual se puede ver un movimiento oscilatorio, debido a que no hay ningún elemento que absorba la energía del sistema.

Figura 7: Sistema masa-resorte-amortiguador.

El elemento que absorbe la energía del sistema se conoce como amortiguador y se introduce ahora en el sistema mostrado por la figura 7, se analiza el efecto que tiene en este nuevo sistema, al cual se le conoce como sistema masa-resorte-amortiguador (MRA).

La ecuación de movimiento para un sistema MRA, está dada por,
$$\sum Fuerzas=m\ddot{x}+kx+b\dot{x},$$
esta ecuación describe el movimiento pero también es el modelo matemático del sistema,
$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=f.$$

Nuevamente para encontrar la solución del sistema, suponga que,
$$x(t)=C_1{e}^{s_{1}t}+C_2{e}^{s_{2}t}+C_3,$$
recuerde que para encontrar la solución de este sistema, primero se deben obtener la primera y segunda derivada de ($\text{???}$), después se sustituirán en ($\text{???}$) y se agruparán para encontrar la solución.
La primer derivada de ($\text{???}$) es,
$$\dot{x}(t)={\lambda }_1{C}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+{\lambda }_2{C}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$
mientras que la segunda derivada de ($\text{???}$) es,
$$\ddot{x}(t)={\lambda }_1^2{C}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+{\lambda }_2^2{C}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$
Sustituyendo ($\text{???}$) y ($\text{???}$) en ($\text{???}$) y reagrupando términos, se tiene,
$$(m{\lambda }_1^2+c{\lambda }_1+k)C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+(m{\lambda }_2^2+c{\lambda }_2+k)C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}+k{C}_3=f$$
Donde se puede observar que, la solución del sistema puede obtenerse de la siguiente forma,
$$m{s}_1^2+b{s}_1+k=0$$
$$m{s}_2^2+b{s}_2+k=0$$
$$C_3=\frac{f}{k}$$
si $f=0$, entonces se puede encontrar la ecuación característica de este sistema sin ser afectado por una fuerza externa,
$$m{s}^2+bs+k=0$$
y las raíces son,
$$s=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4mk}}{2m}=-A\pm Bi$$
si las raíces son complejas, entonces,
$$A=-\frac{b}{2m}B=\sqrt{\frac{k}{m}-{\left(\frac{b}{2m}\right)}^2}$$
Entonces la solución del sistema es,
$$x(t)=e^{-At}[x(0)\cos (Bt)+\frac{\dot{x}(0)+Ax(0)}{B}\sin (Bt)]$$
Donde la oscilación de la respuesta libre del sistema está dada por B y se le conoce como frecuencia natural amortiguada y se denota con el símbolo ${\omega }_d$.
$${\omega }_d=\sqrt{\frac{k}{m}-{\left(\frac{b}{2m}\right)}^2}$$

Note que en esta ecuación se tiene la frecuencia natural vista en $\text{???}$ y además un término que incluye el coeficiente de amortiguamiento, y este valor puede hacer que la frecuencia natural amortiguada sea real, sea cero o sea imaginario ( un valor negativo dentro de la raíz cuadrada), es decir,

• si b (coeficiente de amortiguamiento) es cero, entonces,
  $${\omega }_n={\omega }_d$$
• si b es grande, entonces,  ${\omega }_d=0$ o imaginario, por lo tanto las raíces serán reales y no habrá oscilación.
  El valor de b para el cual ${\omega }_d=0$ es,
  $$b=2\sqrt{mk}$$
• Este valor se conoce como amortiguamiento crítico, ya que es el límite donde la respuesta libre del sistema puede o no oscilar.
  Si $b<2\sqrt{mk}$ el sistema oscila.
  Si $b>2\sqrt{mk}$ la respuesta del sistema es exponencial.

Razón de amortiguamiento.

Por lo tanto puede encontrarse una razón de amortiguamiento, entre el coeficiente de amortiguamiento y el valor que hace cero la frecuencia natural amortiguada, esa razón es,

$$\zeta =\frac{b}{2\sqrt{mk}}$$

y dependiendo el valor del mismo, se sabrá si el amortiguamiento es grande, pequeño o crítico.

° Críticamente amortiguado:

Raíces repetidas. $b=2\sqrt{mk}.$ Es decir $\zeta =1$.

°Sobreamortiguado:

Cuando $b>2\sqrt{mk}$, Raíces distintas y reales. Es decir $\zeta >1$. Comportamiento exponencial.

°Subamortiguado:

Cuando $b<2\sqrt{mk}$, Raíces complejas. Es decir $\zeta <1$. Se presentan oscilaciones.